Fondamenti della meccanica atomica
il che fissa il rapporto tra α e β: si può poi disporre del valore di uno di essi per far sì che anche risulti normalizzata. Dalla coppia se ne
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Si verifica poi immediatamente il teorema di ortogonalità poichè, per , si ha
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dove si è incorporato il fattore 2i nella costante arbitraria Cn. La condizione di normalizzazione ci dà poi
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Se poi vi sono, oltre agli autovalori continui, anche degli autovalori discreti λn, vale anche la seguente proprietà di ortogonalità tra le
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Se poi la radiazione, osservata allo spettroscopio, dà uno spettro continuo anzichè uno spettro di righe, dovremo rappresentarla con un integrale
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Siccome poi, evidentemente,
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Siccome poi n, nel caso più favorevole, ha il valore 1, si ritrovano le relazioni (94').
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dove a e b sono due costanti; l'espressione di C(v) è poi data dalla (119), che si può scrivere, usando la (120),
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È evidente poi che rappresenta la probabilità che la particella abbia l'energia e l'impulso , e la probabilità dell'energia e dell'impulso .
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Essa poi soddisfa l'equazione di Schrödinger
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Osservando poi che, per la (51') del § 12, è
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Osserviamo poi che, perchè la u si conservi finita anche per , dovrà essere : tenuto conto di ciò, le (175) danno, come prima,
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e poi dividere tutta l'equazione per , con che essa diviene
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, sotto l'azione di un potenziale nullo dappertutto, tranne che in un certo intervallo AB, entro il quale esso cresce fino ad un massimo e poi decresce
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determinando poi la costante in modo che risulti
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Per studiare poi la (228) conviene assumere come variabile cos , che indicheremo con x: allora l'equazione diviene (tenendo conto della (230)),
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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Assai notevole è poi la legge che lega la forza viva w con cui sono emessi gli elettroni alla frequenza v della radiazione incidente: essa è
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Siccome poi p è costante, si ricava di qui
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Si ricordi poi che il momento angolare è dato da
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Se si considera poi che i e psono normali al piano dell'orbita, e diretti (come si vede facilmente) in senso opposto, si può anche scrivere la
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Siccome poi
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Se poi è dato un certo numero n di vettori nello spazio funzionale , tutti i vettori ottenibili da essi mediante una combinazione lineare a
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Chiamasi prodotto dell'o. l. per l'o. l. , e si indica con , l'operatore esprimente l'operazione di applicare prima l'operazione e poi, sulla
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La potenza n-esima (con n intero e positivo) di un o. l. 9t è definita ovviamente come il prodotto di n fattori uguali ad . Si conviene poi che = 1.
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Si riconosce poi immediatamente che un o. l., funzione di uno o più o. l. , permutabili tra loro, è permutabile con ciascuno di essi.
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Se poi An è un autovalore multiplo, a cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha
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poi, la base sperimentale delle teorie ondulatorie della luce: principalissimi fra questi l'interferenza e la diffrazione.
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Si dirà poi che più osservabili contemporanee A, B, C,... sono compatibili, se ognuna di esse è compatibile con tutte le altre.
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Risulta poi evidente che la osservabile F così definita è compatibile con ciascuna delle osservabili date X, Y, Z...
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caso un certo numero (assai grande) di sistemi, si osserva su essi la , e se ne prende il valor medio; poi si estrae dall'insieme un altro gruppo assai
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Si riconosce poi che, se la forza è centrale, è un integrale primo (come in meccanica classica). Difatti l'operatore per una particella è (v. § 19)
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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che, insieme con il valore iniziale dato dalle (143), definisce la a un tempo t qualunque, e in particolare la . Si ponga poi l'equazione
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Particolare interesse hanno poi gli elementi delle tre matrici , rappresentanti le componenti del momento elettrico del sistema nello schema , ossia
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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Applicando poi alla matrice le regole di permutazione (151) e (152) si trova
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Da ciascuno dei sistemi (185) si hanno poi, a meno di un fattore costante, le il detto fattore si determina imponendo la condizione
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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Molte righe di altri spettri poi presentano una cosidetta struttura iperfina, che richiede sempre mezzi di alta risoluzione e che ha un'origine
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Altre due relazioni analoghe a questa si ricaverebbero nello stesso modo: le componenti dello spin sono dunque anticommutative. Tenendo poi conto di
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quindi, perchè sia , deve essere . Si ha poi
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L'operatore hamiltoniano così formato, permette poi di scrivere, nel modo solito, l'equazione per la , e cioè
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dove n' è fisso ed n assume tutti i valori interi da un certo valore in poi.
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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Annullando poi il coefficiente di r si trova:
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Considereremo dapprima i sistemi con due sole particelle uguali (come è, p. es., l'atomo di elio); poi estenderemo sommariamente i ragionamenti a
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Se poi C contiene linearmente un parametro λ, come nella (8), sarà così anche di R, e l'equazione (12) avrà la forma
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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Accademia della crusca
